9944. Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— квадрат ABCD
. Точка M
— середина ребра AB
, точка K
— середина ребра AD
. Через прямую MK
проведена плоскость, образующая с плоскостью ABC
угол \alpha
и пересекающая три боковых ребра параллелепипеда. Площадь получившегося сечения равна S
. Найдите отрезок AB
.
Ответ. \frac{2\sqrt{14S\cos\alpha}}{7}
.
Решение. Пусть секущая плоскость пересекает боковое ребро CC_{1}
в точке N
. Тогда она пересекает боковые рёбра BB_{1}
и CC_{1}
. Ортогональная проекция сечения на плоскость грани ABCD
— пятиугольник MBCDK
.
Обозначим AB=x
. Тогда
S_{MBCDK}=S_{ABCD}-S_{\triangle MAK}=S_{ABCD}-\frac{1}{4}S_{\triangle BAD}=x^{2}-\frac{1}{8}x^{2}=\frac{7}{8}x^{2}.
По теореме о площади ортогональной проекции (см. задачу 8093)
S_{MBCDK}=S\cos\alpha,~\mbox{или}~\frac{7}{8}x^{2}=S\cos\alpha,
откуда
x=\sqrt{\frac{8S\cos\alpha}{7}}=2\sqrt{\frac{2S\cos\alpha}{7}}=\frac{2\sqrt{14S\cos\alpha}}{7}.