9945. Ребро AD
тетраэдра ABCD
равно 2. Найдите расстояние от точки D
до плоскости ABC
, если \angle DAB=\angle BAC=45^{\circ}
, \angle DAC=60^{\circ}
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Пусть DO
— перпендикуляр к плоскости ABC
, а OK
— перпендикуляр к прямой AC
. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что DKO
— линейный угол двугранного угла при ребре BC
трёхгранного угла ABCD
с вершиной A
, противолежащего плоскому углу BAD
. По теореме косинусов для трёхгранного угла (см. задачу 7438)
\cos\angle DKO=\frac{\cos\angle DAB-\cos\angle BAC\cos\angle DAC}{\sin\angle BAC\sin\angle DAC}=
=\frac{\cos45^{\circ}-\cos45^{\circ}\cos60^{\circ}}{\sin45^{\circ}\sin60^{\circ}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Тогда \sin\angle DKO=\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Из прямоугольного треугольника AKD
находим, что
DK=AD\sin\angle DAK=2\cdot\sin60^{\circ}=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Следовательно,
DO=DK\sin\angle DKO=\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2}.