9947. Теорема синусов для трёхгранного угла. Плоские углы BSC
, ASC
и ASB
трёхгранного угла равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Двугранные углы при рёбрах SA
, SB
и SC
равны A
, B
и C
соответственно. Докажите равенство
\frac{\sin A}{\sin\alpha}=\frac{\sin B}{\sin\beta}=\frac{\sin C}{\sin\gamma}.
Решение. Первый способ. Опустим перпендикуляр MO
из произвольной точки ребра SA
на грань BSC
. Пусть точка O
оказалась внутри угла BSC
, а OP
и OQ
— перпендикуляры к SB
и SC
соответственно. Из теоремы о трёх перпендикуляров следует, что OPM
и OQN
— линейные углы двугранных углов при рёбрах SB
и SC
, значит, \angle OPM=B
и \angle OQM=C
.
Выразим отрезок MO
двумя способами: из прямоугольных треугольников OPM
и OQM
. Получим
MO=MP\sin B=SM\sin\gamma\sin B,~MO=MQ\sin C=SM\sin\beta\sin C,
откуда \sin\gamma\sin B=\sin\beta\sin C
, или \frac{\sin B}{\sin\beta}=\frac{\sin C}{\sin\gamma}
. То же равенство получим в случае, когда точка O
окажется вне угла BAC
.
Аналогично, \frac{\sin B}{\sin\beta}=\frac{\sin A}{\sin\alpha}
.
Второй способ. По теореме косинусов для трёхгранного угла (см. задачу 7438)
\cos A=\frac{\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma},
поэтому
\sin^{2}A=1-\cos^{2}A=1-\left(\frac{\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}\right)^{2}=
=\frac{\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma-(\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma)^{2}}{\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma}=
=\frac{(1-\cos^{2}\beta)(1-\cos^{2}\gamma)-(\cos^{2}\alpha-2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos^{2}\beta\cos^{2}\gamma)}{\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma}=
=\frac{1-\cos^{2}\alpha-\cos^{2}\beta-\cos^{2}\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma},
откуда
\frac{\sin^{2}A}{\sin^{2}\alpha}=\frac{1-\cos^{2}\alpha-\cos^{2}\beta-\cos^{2}\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma}.
Аналогично,
\frac{\sin^{2}B}{\sin^{2}\beta}=\frac{1-\cos^{2}\alpha-\cos^{2}\beta-\cos^{2}\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma},
\frac{\sin^{2}C}{\sin^{2}\gamma}=\frac{1-\cos^{2}\alpha-\cos^{2}\beta-\cos^{2}\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta\sin^{2}\gamma}.
Значит,
\frac{\sin^{2}A}{\sin^{2}\alpha}=\frac{\sin^{2}B}{\sin^{2}\beta}=\frac{\sin^{2}C}{\sin^{2}\gamma},
а так как величины \alpha
, \beta
, \gamma
и A
, B
, C
заключены между 0^{\circ}
и 180^{\circ}
, то их синусы положительны. Следовательно,
\frac{\sin A}{\sin\alpha}=\frac{\sin B}{\sin\beta}=\frac{\sin C}{\sin\gamma}.
Что и требовалось доказать.