9959. Точки D
и P
лежат на рёбрах соответственно B_{1}C_{1}
и A_{1}C_{1}
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
. Точки K
и M
лежат на отрезках CB_{1}
и CA_{1}
соответственно. Известно, что C_{1}D:DB_{1}=1:4
, A_{1}P:PC_{1}=5:2
, A_{1}M:MC=3:4
, B_{1}K:KC=6:5
. Докажите, что точки D
, P
, K
и M
лежат в одной плоскости.
Ответ. 3:16
.
Решение. Точки K
, M
, P
и D
на рёбрах соответственно B_{1}C
, CA_{1}
, A_{1}C_{1}
и C_{1}B_{1}
тетраэдра B_{1}CA_{1}C_{1}
, при этом
\frac{B_{1}K}{KC}\cdot\frac{CM}{MA_{1}}\cdot\frac{A_{1}P}{PC_{1}}\cdot\frac{C_{1}D}{DB_{1}}=\frac{6}{5}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{4}=1.
Следовательно, точки K
, M
, P
и D
лежат в одной плоскости (см. примечание к задаче 9106).