9960. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
угол между плоскостями BDD_{1}
и CDB_{1}
равен \alpha
. Найдите отношение площадей четырёхугольников BB_{1}D_{1}D
и DA_{1}B_{1}C
.
Ответ. 2\cos\alpha
.
Решение. Пусть O
и O_{1}
— центры оснований ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно. Тогда OO_{1}
— высота усечённой пирамиды. Прямая CO
перпендикулярна плоскости четырёхугольника BB_{1}D_{1}D
, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым OO_{1}
и BD
этой плоскости. Тогда прямая A_{1}O_{1}
, параллельная CO
, также перпендикулярна этой плоскости. Значит, точки O
и O_{1}
— ортогональные проекции точек соответственно C
и A_{1}
на плоскость четырёхугольника BB_{1}D_{1}D
, а четырёхугольник DO_{1}B_{1}O
— ортогональная проекция четырёхугольника DA_{1}B_{1}C
на эту плоскость.
Пусть плоскость четырёхугольника DA_{1}B_{1}C
равна S
, а площадь четырёхугольника DO_{1}B_{1}O
равна S'
. Тогда по теореме о площади ортогональной проекции (см. задачу 9093) \frac{S'}{S}=\cos\alpha
. Осталось заметить, что площадь трапеции BB_{1}D_{1}D
вдвое больше площади трапеции DO_{1}B_{1}O
(высоты обеих трапеция совпадают, а полусумма оснований первой вдвое больше суммы оснований второй). Следовательно, отношение площадей четырёхугольников BB_{1}D_{1}D
и DA_{1}B_{1}C
равно 2\cos\alpha
.