9962. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b
, а плоский угол при вершине пирамиды равен \alpha
. Все вершины пирамиды равноудалены от некоторой плоскости. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Ответ. b^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}
или \frac{3b^{2}\sin\alpha}{8}
.
Решение. Пусть PABCD
— данная правильная четырёхугольная пирамида с основанием ABCB
, PA=PB=PC=PD=b
, \angle APB=\angle BPC=\angle CPD=\angle APD=\alpha
, а искомая площадь сечения равна S
.
Рассмотрим плоскость, равноудалённую от точек P
, A
, B
, C
и D
. Возможны два случая: 1) точки A
, B
, C
и D
расположены по одну сторону от этой плоскости, а точка P
— по другую; 2) две соседние вершины квадрата ABCD
и точка P
расположены по одну сторону от этой плоскости, а две другие вершины квадрата и точка P
— по другую.
1) В этом случае секущая плоскость проходит через середины боковых рёбер пирамиды, значит, сечение — квадрат, подобный квадрату ABCD
с коэффициентом \frac{1}{2}
(см. задачу 9105).
Пусть E
— середина ребра AB
. Тогда PE
— медиана, а значит, высота и биссектриса равнобедренного треугольника APB
, поэтому
AB=2AE=2\cdot PA\sin\frac{\alpha}{2}=2b\sin\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
S=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}S_{\triangle ABCD}=\frac{1}{4}AB^{2}=\frac{1}{4}\cdot4b^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=b^{2}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}.
2) Пусть точки A
и B
расположены по одну сторону от секущей плоскости, а точки C
, D
и P
— по другую. В этом случае секущая плоскость проходит через середины K
, L
, M
и N
рёбер AD
, BC
, PB
и PA
соответственно. Значит, сечение — равнобедренная трапеция KLMN
с основаниями KL=AB=2b\sin\frac{\alpha}{2}
и боковыми сторонами KN=LM
. Пусть O
— центр квадрата ABCD
, F
— середина его стороны CD
, а Q
— точка пересечения PE
и MN
. Тогда QO
— высота трапеции KLMN
, а так как QO
— средняя линия треугольника PEF
, то
QO=\frac{1}{2}PF=\frac{1}{2}PE=\frac{1}{2}PA\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}b\cos\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
S=\frac{KL+MN}{2}\cdot QO=\frac{AB+\frac{1}{2}AB}{2}\cdot OQ=
=\frac{3}{4}AB\cdot OQ=\frac{3}{4}\cdot2b\sin\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{1}{2}b\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{3b^{2}\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{4}=\frac{3b^{2}\sin\alpha}{8}.