9963. В тетраэдре ABCD
известно, что AD=BC=9
, AC=BD=10
, AB=\sqrt{57}
, CD=7
. Найдите расстояние между прямыми AB
и CD
.
Ответ. 8.
Решение. Рассмотрим описанный параллелепипед тетраэдра ABCD
. Диагональ AD
его грани равна диагонали BC
противоположной грани, значит, эти грани — прямоугольники. Аналогично, противоположные грани описанного параллелепипеда, диагонали AC
и BD
которых равны, — также прямоугольники. Следовательно, параллелепипед прямой, а его основания — параллелограммы с диагоналями AB=\sqrt{57}
и CD=7
.
Расстояние между прямыми AB
и CD
равно расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими эти прямые, т. е. боковому ребру рассматриваемого прямого параллелепипеда.
Пусть x
и y
длины соседних сторон его основания. Тогда
2x^{2}+2y^{2}=AB^{2}+CD^{2}=57+49=106~\Rightarrow~x^{2}+y^{2}=53
(см. задачу 4011). Кроме того, по теореме Пифагора
x^{2}+y^{2}=81-d^{2}+100-d^{2}=181-d^{2}.
Из уравнения 181-d^{2}=53
находим, что d=8
.