9965. Основание пирамиды SABC
— треугольник ABC
, в котором \angle ACB=90^{\circ}
, \angle BAC=60^{\circ}
, AC=4\sqrt{3}
. Плоскость грани BSC
перпендикулярна плоскости основания пирамиды, а плоскости двух других граней наклонены к плоскости основания под углом 30^{\circ}
. Найдите ребро SC
.
Ответ. \frac{8\sqrt{3}}{3}
или 8\sqrt{3}
.
Решение. Пусть SH
— высота треугольника BSC
. Поскольку плоскости BSC
и ABC
перпендикулярны, SH
— перпендикуляр к плоскости ABC
(см. задачу 7712). По теореме о трёх перпендикулярах HC\perp AC
, значит, HCS
— линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре AC
. По условию \angle HCS=30^{\circ}
.
Пусть HP
— перпендикуляр к AB
. Тогда HPS
— линейный угол двугранного угла пирамиды при ребре AB
. По условию \angle HPS=30^{\circ}
.
Прямоугольные треугольники HCS
и HPS
равны по катету и противолежащему острому углу, поэтому HC=HP
, т. е. точка H
равноудалена либо от сторон угла BAC
(если она лежит внутри этого угла), либо от сторон смежного с ним угла (если она лежит вне угла). В первом случае AH
— биссектриса угла BAC
треугольника ABC
, во втором — биссектриса внешнего угла при вершине A
этого треугольника.
В первом случае
CH=AC\tg\angle CAH=AC\tg30^{\circ}=4\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=4,
следовательно,
SC=\frac{CH}{\cos\angle HCS}=\frac{CH}{\cos30^{\circ}}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}.
Во втором —
CH=AC\tg\frac{120^{\circ}}{2}=AC\tg60^{\circ}=4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=12,
следовательно,
SC=\frac{CH}{\cos\angle HCS}=\frac{CH}{\cos30^{\circ}}=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8\sqrt{3}.