9998. Основание треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
— треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
. Найдите угол между прямыми AC_{1}
и CB_{1}
, если известно, что AC_{1}=CB_{1}=AB
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Первый способ. На продолжении ребра A_{1}C_{1}
за точку C_{1}
отложим отрезок C_{1}P=A_{1}C_{1}
. Тогда ACPC_{1}
— параллелограмм, поэтому CP\parallel AC_{1}
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми AC_{1}
и CB_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми CP
и CB_{1}
, т. е. углу PCB_{1}
или смежному с ним углу.
Поскольку CP=AC_{1}=CB_{1}
, треугольник PCB_{1}
равнобедренный. Треугольник A_{1}B_{1}P
тоже равнобедренный, так как его медиана B_{1}C_{1}
является высотой (\angle A_{1}C_{1}B=\angle ACB=90^{\circ})
. Тогда
PB_{1}=A_{1}B_{1}=AB=CB_{1}=AC_{1}=CP.
Значит, треугольник PCB_{1}
равносторонний. Следовательно, \angle PCB_{1}=60^{\circ}
.
Второй способ. Отметим середины F
, K
и N
рёбер CC_{1}
, AC
и B_{1}C_{1}
соответственно. Отрезки FK
и FN
— средние линии треугольников ACC_{1}
и CB_{1}C_{1}
, поэтому FK\parallel AC_{1}
и FN\parallel CA_{1}
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми AC_{1}
и CB_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми FK
и FN
, т. е. углу KFN
или смежному с ним углу.
Пусть O
— центр грани ABB_{1}A_{1}
. Тогда O
— середина отрезка AB_{1}
, поэтому ON
— средняя линия треугольника AB_{1}C_{1}
. Значит, ON\parallel AC_{1}
и ON=\frac{1}{2}AC_{1}
. В то же время, FK
— средняя линия треугольника ACC_{1}
, поэтому FK\parallel AC_{1}
и FK=\frac{1}{2}AC_{1}
. Таким образом, ON\parallel FK
и ON=FK
, значит, KONF
— параллелограмм. Кроме того, по теореме о средней линии треугольника
FN=\frac{1}{2}CB_{1}=\frac{1}{2}AC_{1}=FK,
значит, KONF
— ромб.
Пусть M
и M_{1}
— середины рёбер AB
и A_{1}B_{1}
соответственно. Тогда центр O
параллелограмма ABB_{1}A_{1}
— середина отрезка MM_{1}
, поэтому отрезок OF
(диагональ ромба KONF
), соединяющий середины O
и F
противоположных сторон параллелограмма CMM_{1}C_{1}
, параллелен и равен отрезку CM
, т. е. медиане прямоугольного треугольника ABC
, проведённой из вершины прямого угла. Значит (см. задачу 1109),
OF=CM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC_{1}=FK=FN.
Таким образом, диагональ ромба KONF
равна его стороне, поэтому треугольники FON
и FOK
равносторонние, а \angle KFN=120^{\circ}
. Следовательно, искомый угол между прямыми AC_{1}
и CB_{1}
равен 60^{\circ}
.