11154. В треугольнике ABC
построена точка D
, симметричная центру I
вписанной окружности относительно центра O
описанной окружности. Докажите, что AD^{2}=4R^{2}-AB\cdot AC
, где R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Предположим, что AB\ne AC
.
Пусть биссектриса AI
пересекает описанную окружность в точке W
. Проведём диаметр AP
. Четырёхугольник ADPI
— параллелограмм, поэтому AD=PI
. Тогда доказываемое равенство можно записать в виде
AB\cdot AC=4R^{2}-AD^{2}=AP^{2}-PI^{2}
Точка W
лежит на окружности с диаметром AP
, поэтому угол AWP
прямой. Тогда
AP^{2}-PI^{2}=(AW^{2}+PW^{2})-(WI^{2}+PW^{2})=AW^{2}-WI^{2}.
Таким образом, задача сводится к доказательству равенства AB\cdot AC=AW^{2}-WI^{2}
.
По теореме о трилистнике WB=WC=WI
(см. задачу 788). Центр W
описанной окружности треугольника BIC
лежит на биссектрисе угла BAC
, поэтому точки пересечения этой окружности со сторонами угла BAC
попарно симметричны относительно биссектрисы AW
(окружность симметрична относительно любого своего диаметра, см. задачу 1677). Пусть эта окружность пересекает прямую AB
в точке E
. Тогда точки C
и E
симметричны относительно прямой AW
, значит, AE=AC
.
Пусть AT
— касательная к описанной окружности треугольника BIC
(T
— точка касания). Тогда AB\cdot AE=AT^{2}
(см. задачу 93). Из прямоугольного треугольника AWT
по теореме Пифагора получаем, что
AT^{2}=AW^{2}-WT^{2}=AW^{2}-WI^{2}.
Таким образом, учитывая равенство отрезков AC
и AE
, получим, что
AB\cdot AC=AB\cdot AE=AT^{2}=AW^{2}-WI^{2}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Если же AB=AC
, то
AD^{2}=IW^{2}=BW^{2}=AW^{2}-AB^{2}=(2R)^{2}-AB\cdot AB=4R^{2}-AB\cdot AC.