11159. Пусть ABC
— треугольник со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
, радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон BC
, AC
и AB
, равны x
, y
и z
соответственно. Докажите, что
a=\frac{x(y+z)}{\sqrt{xy+xz+yz}},~b=\frac{y(x+z)}{\sqrt{xy+xz+yz}},~c=\frac{z(x+y)}{\sqrt{xy+xz+yz}}.
Решение. Пусть S
и p
— площадь и полупериметр треугольника ABC
. Из формул
x=\frac{S}{p-a},~y=\frac{S}{p-b},~z=\frac{S}{p-c}
(см. задачу 392) следует, что
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{p-a}{S}+\frac{p-b}{S}=\frac{2p-a-b}{S}=\frac{c}{S}.
Аналогично,
\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{b}{S},~\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{a}{S}.
Значит,
a:b:c=\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right):\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right):\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right),
откуда
a=\left(\frac{xz+xy}{xz+yz}\right)\cdot c,~b=\left(\frac{xy+yz}{xz+yz}\right)\cdot c.
Кроме того, xy+xz+yz=p^{2}
(см. задачу 3244), поэтому
a+b+c=2p=2\sqrt{xy+xz+yz}.
Следовательно,
c=2\sqrt{xy+xz+yz}-(a+b)=2\sqrt{xy+xz+yz}-\left(\frac{xz+xy}{xz+yz}\right)\cdot c-\left(\frac{xy+yz}{xz+yz}\right)\cdot c,
c\left(1+\frac{xz+xy}{xz+yz}+\frac{xy+yz}{xz+yz}\right)=2\sqrt{xy+xz+yz},
\frac{c(xy+xz+yz)}{xz+yz}=\sqrt{xy+xz+yz},~c=\frac{z(x+y)}{\sqrt{xy+xz+yz}}.
Аналогично,
a=\frac{x(y+z)}{\sqrt{xy+xz+yz}},~b=\frac{y(x+z)}{\sqrt{xy+xz+yz}}.
Примечание. 1. Из доказанных формул следует, для любых положительных чисел x
, y
и z
существует единственный треугольник, радиусы вневписанных окружностей которого равны x
, y
и z
. Действительно, числа a
, b
и c
определены однозначно, причём
a+b=\frac{x(y+z)}{\sqrt{xy+xz+yz}}+\frac{y(x+z)}{\sqrt{xy+xz+yz}}=\frac{xy+xz+xy+yz}{\sqrt{xy+xz+yz}}\gt
\gt\frac{xz+yz}{\sqrt{xy+xz+yz}}=\frac{z(x+y)}{\sqrt{xy+xz+yz}}=c.
Аналогично b+c\gt a
и a+c\gt b
.
2. См. также статью В.Дроздова «Треугольник и классические неравенства», Квант, 2019, N8, с.40-41.