11696. Окружность, вписанная в неравнобедренный треугольник ABC
, касается сторон AB
и AC
в точках M
и N
. Нашлась такая точка K
, что KB=KC
и KMAN
— параллелограмм. Докажите, что точка K
лежит на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Из равенства отрезков касательных AM=AN
следует, что AMKN
— ромб. Значит, AK
— биссектриса угла BAC
.
Рассмотрим треугольники AKB
и AKC
: AK
— их общая сторона, KB=KC
, \angle BAK=\angle CAK
, однако AB\ne AC
(по условию). Значит, по «четвёртому признаку» равенства треугольников (см. задачу 10280)
\angle ABK+\angle ACK=180^{\circ},
поэтому точки A
, B
, K
и C
лежат на одной окружности. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Второй абзац доказательства можно заменить следующим. Биссектриса угла A
и серединный перпендикуляр к стороне BC
треугольника ABC
пересекаются на описанной окружности треугольника в середине дуги BC
, не содержащей точки A
(см. задачу 1743). Точка K
лежит на и биссектрисе угла A
, и на серединном перпендикуляре к отрезку BC
(так как KB=KC
). Следовательно, она и есть середина этой дуги.