12686. Точки M
и N
, расположенные на биссектрисе AL
треугольника ABC
, таковы, что \angle ABM=\angle ACN=23^{\circ}
. Точка X
лежит внутри треугольника, причём BX=CX
и \angle BXC=2\angle BML
. Найдите \angle MXN
.
Ответ. \angle MXN=2\angle ABM=46^{\circ}
.
Решение. Пусть \angle BAC=2\alpha
. Треугольники ABM
и ACN
подобны по двум углам, поэтому,
\angle CNL=180^{\circ}-\angle CNM=180^{\circ}-\angle BMA=\angle BML=\alpha+23^{\circ}.
Пусть луч AL
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке K
. Тогда K
— середина дуги BKC
, K
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC
(см. задачу 1743),
\angle BXK=\frac{1}{2}BXC=\angle BML=\angle BMK.
Значит, четырёхугольник BMXK
вписанный (см. задачу 12), поэтому
\angle XMN=\angle XMK=\angle XBK=\angle XBC+\angle KBC=
=(90^{\circ}-\angle BXK)+\angle CAK=(90^{\circ}-\angle BML)+\angle CAK=
=(90^{\circ}-\alpha-23^{\circ})+\alpha=67^{\circ}.
Аналогично,
\angle CXK=\frac{1}{2}\angle BXC=\angle CNL,
поэтому четырёхугольник CXNK
тоже вписанный. Значит,
\angle XNM=\angle XCK=67^{\circ}.
Тогда треугольник MXN
равнобедренный. Следовательно,
\angle MXN=180^{\circ}-2\cdot67^{\circ}=46^{\circ}.