14066. Боковые ребра треугольной пирамиды TABC
образуют между собой прямые углы. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину C
и середину стороны AB
основания, если боковые рёбра TA=4
, TB=12
, TC=3
? Какое из боковых рёбер пересекает в этом случае плоскость и на какие части его делит?
Ответ. \frac{21}{\sqrt{13}}
; ребро BT
; 9:17
, считая от вершины T
.
Решение. Пусть S
— середина гипотенузы AB
прямоугольного треугольника ATB
. По теореме Пифагора
AB\sqrt{TA^{2}+TB^{2}}=\sqrt{4^{2}+12^{2}}=4\sqrt{10},
а так как TS
— медиана прямоугольного треугольника ATB
, проведённая из вершины прямого угла, то
TS=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{10}
(см. задачу 1109). Значит,
CS=\sqrt{CT^{2}+TS^{2}}=\sqrt{9+(2\sqrt{10})^{2}}=7.
Предположим, что плоскость сечения пересекает ребро BT
в некоторой точке N
. Площадь треугольника CSN
при фиксированной стороне CS=2\sqrt{10}
будет наименьшей при наименьшей высоте, опущенной на эту сторону, т. е., если эта высота — общий перпендикуляр NK
скрещивающихся прямых CS
и BT
(см. задачу 7423).
Пусть P
— середина ребра AT
. Плоскость ATC
перпендикулярна прямой BT
, значит, длина общего перпендикуляра скрещивающихся прямых CS
и BT
(т. е. расстояние между этими прямыми) равно расстоянию от точки T
до ортогональной проекции CP
прямой CS
на плоскость ATC
, т. е. высоте TH
прямоугольного треугольника STP
(см. задачу 8406). Из этого треугольника находим, что
TH=\frac{TC\cdot TP}{CP}=\sqrt{3\cdot2}{\sqrt{3^{2}+2^{2}}}=\frac{6}{\sqrt{13}}
(см. задачу 1967). Следовательно, наименьшая площадь треугольника CNS
в случае, когда секущая плоскость пересекает ребро BT
, равна
\frac{1}{2}CS\cdot NK=\frac{1}{2}CS\cdot TH=\frac{1}{2}\cdot7\cdot\frac{6}{\sqrt{13}}=\frac{21}{\sqrt{13}}.
Рассуждая аналогично, в случае, когда секущая плоскость проходит через некоторую точку M
ребра AT
, найдём, что расстояние между прямыми CS
и AT
равно \frac{6}{\sqrt{5}}
, а минимальная площадь треугольника в этом случае равна
\frac{1}{2}\cdot7\cdot\frac{6}{\sqrt{5}}=\frac{21}{\sqrt{5}}\gt\frac{21}{\sqrt{13}}.
Следовательно, наименьшая площадь сечения, о котором говорится в условии задачи, равна \frac{21}{\sqrt{13}}
. При этом плоскость пересекает ребро BT
в указанной выше точке N
.
Отрезки NK
и TH
равны и параллельны, а так как NK\perp BT
, то TNKH
— прямоугольник. Значит, TN=HK
и HK\parallel BT\parallel SP
, а так как
\frac{CH}{HP}=\frac{CT^{2}}{TP^{2}}=\frac{9}{4}
(см. задачу 1946), то
\frac{TN}{BT}=\frac{HK}{BT}=\frac{\frac{9}{13}PS}{BT}=\frac{9}{13}\cdot\frac{PS}{BT}=\frac{9}{13}\cdot\frac{1}{2}=\frac{9}{26},
Откуда
TN=\frac{9}{26}BT=\frac{9}{26}\cdot12=\frac{54}{13},~NB=12-TN=12-\frac{54}{13}=\frac{102}{13}.
Следовательно,
q\frac{TN}{NB}=\frac{\frac{54}{13}}{\frac{102}{13}}=\frac{9}{17}.