8412. В правильном тетраэдре ABCD
с ребром a
точка M
— середина AB
, N
— середина BC
. Найдите угол и расстояние между прямыми CM
и DN
. В каком отношении общий перпендикуляр этих прямых делит отрезок DN
и CM
?
Ответ. \arccos\frac{1}{6}
; a\sqrt{\frac{2}{35}}
; DY:YN=32:3
; CX:XM=18:17
.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр равностороннего треугольника ABC
, E
и F
— точки пересечения прямой, проходящей через точку O
параллельно AB
, со сторонами AC
и BC
соответственно, N'
— основание перпендикуляра, опущенного из точки N
на прямую EF
. Так как NN'\parallel OC
, то NN'
— перпендикуляр к плоскости DEF
. Значит, N'
— ортогональная проекция точки N
на плоскость EDF
, перпендикулярную прямой CM
(рис. 1). Тогда
\frac{CE}{AE}=\frac{CF}{BF}=\frac{CO}{MO}=2,~NF=\frac{2}{3}BC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{6}BC.
Расстояние между прямыми CM
и DN
равно расстоянию от точки O
до ортогональной проекции DN
на плоскость EDF
, т. е. до прямой DN'
(см. задачу 8406). Так как NN'\parallel CO
, то по теореме Фалеса
\frac{ON'}{N'F}=\frac{CN}{NF}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{6}BC}=3,
откуда находим, что
ON'=\frac{3}{4}OF=\frac{3}{8}EF=\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{3}AB=\frac{1}{4}a.
Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на прямую DN'
. Тогда искомое расстояние между прямыми CM
и DN
равно длине отрезка OP
. Из прямоугольного треугольника DON'
находим, что
OP=\frac{OD\cdot ON'}{DN'}=\frac{a\sqrt{2}{3}\cdot\frac{1}{4}a}{\sqrt{\frac{2}{3}a^{2}+\frac{1}{16}a^{2}}}=a\sqrt{\frac{2}{35}}.
Угол \alpha
между прямыми CM
и DN
дополняет до 90^{\circ}
угол между пересекающимися прямыми DN
и DN'
. Поэтому
\sin\alpha=\cos(90^{\circ}-\alpha)=\frac{DN'}{DN}=\frac{\frac{a\sqrt{35}}{\sqrt{48}}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{35}}{6}.
Следовательно,
\alpha=\arcsin\frac{\sqrt{35}}{6}=\arccos\frac{1}{6}.
Пусть XY
— общий перпендикуляр прямых CM
и DN
(точка X
лежит на CM
, Y
— на DN
). Тогда OXYP
— прямоугольник, PY\parallel NN'\parallel OX
(рис. 2). Значит,
\frac{DY}{YN}=\frac{DP}{PN'}=\frac{OD^{2}}{ON'^{2}}=\frac{\frac{2}{3}a^{2}}{\frac{1}{16}a^{2}}=\frac{32}{3}.
Кроме того,
OX=PY=\frac{DP}{DN'}\cdot NN'=\frac{DP}{DN'}\cdot\frac{1}{4}OC=\frac{32}{35}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{8a\sqrt{3}}{105},
XM=MO+OX=\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{8a\sqrt{3}}{105}=\frac{51a\sqrt{3}}{210}=\frac{17a\sqrt{3}}{70}.
Значит,
\frac{MX}{CM}=\frac{\frac{17a\sqrt{3}}{70}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{17}{35}.
Следовательно, \frac{CX}{XM}=\frac{18}{17}
.
Второй способ. Обозначим \overrightarrow{DA}=\overrightarrow{x}
, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{y}
, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{z}
, DA=x
, AB=y
, BC=z
, где x=y=z=a
. Тогда
\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=a^{2}\cdot\cos120^{\circ}=-\frac{a^{2}}{2},~\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{y}=a^{2}\cdot\cos120^{\circ}=-\frac{a^{2}}{2},~\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z}=0,
\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}\overrightarrow{y},~\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z},
\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{DN}=\left(-\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}\overrightarrow{y}\right)\cdot\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z}\right)=
=-\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z}-\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}\overrightarrow{z}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}-\frac{1}{2}\overrightarrow{y}^{2}-\frac{1}{4}\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}=
=0+\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{8}a^{2}=-\frac{1}{8}a^{2},
CM=\frac{a\sqrt{3}}{2},~DN=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Пусть \alpha
— угол между прямыми CM
и DN
. Тогда
\cos\alpha=\frac{|\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{DN}|}{CM\cdot DN}=\frac{\frac{a^{2}}{8}}{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{1}{6}.
Пусть XY
— общий перпендикуляр прямых CM
и DN
(точка X
лежит на CM
, Y
— на DN
), причём
\overrightarrow{CX}=\lambda\overrightarrow{CM}=\lambda(-\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}\overrightarrow{y}),~\overrightarrow{DY}=\mu\overrightarrow{DN}=\mu(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z}).
Тогда
\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{XM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DY}=(1-\lambda)\overrightarrow{CM}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\mu\overrightarrow{DN}=
=(1-\lambda)\left(-\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}\overrightarrow{y}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}+\mu\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z}\right)=
=(\mu-1)\overrightarrow{x}+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\overrightarrow{y}+\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\cdot\overrightarrow{z}.
Так как \overrightarrow{XY}\perp\overrightarrow{CM}
и \overrightarrow{XY}\perp\overrightarrow{DN}
, то \overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{CM}=0
и \overrightarrow{XY}\cdot\overrightarrow{DN}=0
, или
\left((\mu-1)\overrightarrow{x}+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\overrightarrow{y}+\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\overrightarrow{z}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{z}-\frac{1}{2}\overrightarrow{y}\right)=
=-(\mu-1)(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z})-\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)(\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z})-\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\cdot\overrightarrow{z}^{2}-
-\frac{1}{2}(\mu-1)\cdot(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y})-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\cdot\overrightarrow{y}^{2}-\frac{1}{2}\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\cdot(\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{y})=
=0+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)a^{2}-\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)a^{2}+
+\frac{1}{4}(\mu-1)a^{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)a^{2}+\frac{1}{4}\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)a^{2}=
=\frac{1}{8}a^{2}(2\lambda+4\mu-4-8\lambda-4\mu+8+2\mu-2-2\lambda-4\mu+4+
+2\lambda+\mu-2)=\frac{1}{8}a^{2}(-6\lambda-\mu+4)=0,
\left((\mu-1)\overrightarrow{x}+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\overrightarrow{y}+\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\overrightarrow{z}\right)\cdot\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\frac{1}{2}\overrightarrow{z}\right)=
=(\mu-1)\overrightarrow{x}^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y})+\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)(\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x})+
+(\mu-1)(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y})+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\overrightarrow{y}^{2}+\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)(\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{y})+
+\frac{1}{2}(\mu-1)(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z})+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)(\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z})+\frac{1}{2}\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\overrightarrow{z}^{2}=
=(\mu-1)a^{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)a^{2}+0-
-\frac{1}{2}(\mu-1)a^{2}+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\cdot a^{2}-\frac{1}{2}\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)a^{2}+
+0-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)a^{2}+\frac{1}{2}\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)a^{2}=
=\frac{1}{8}a^{2}(8\mu-8-2\lambda-4\mu+4-4\mu+4+4\lambda+8\mu-8-4\lambda-2\mu+4-
-\lambda-2\mu+2+4\lambda+2\mu-4)=\frac{1}{8}a^{2}(\lambda+6\mu-6)=0,
Из системы
\syst{-6\lambda-\mu+4=0\\\lambda+6\mu-6=0\\}
находим, что \lambda=\frac{18}{35}
, \mu=\frac{32}{35}
(CX:XM=18:17
, DY:YN=32:3
). Поэтому
\overrightarrow{XY}=(\mu-1)\cdot\overrightarrow{x}+\left(\frac{1}{2}\lambda+\mu-1\right)\overrightarrow{y}+\left(\lambda+\frac{1}{2}\mu-1\right)\cdot\overrightarrow{z}=
=\frac{3}{35}\overrightarrow{x}+\frac{6}{35}\overrightarrow{y}+\frac{1}{35}\overrightarrow{z}.
Следовательно,
XY=\sqrt{\overrightarrow{XY}^{2}}=\sqrt{\frac{3}{35}\overrightarrow{x}+\frac{6}{35}\overrightarrow{y}+\frac{1}{35}\overrightarrow{z})^{2}}=
=\frac{1}{35}\sqrt{9\overrightarrow{x}^{2}+36\overrightarrow{y}^{2}+\overrightarrow{z}^{2}-36\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+6\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z}-12\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}}=
=\frac{1}{35}\sqrt{9a^{2}+36a^{2}+a^{2}+18a^{2}+6a^{2}}=\frac{1}{35}\sqrt{70a^{2}}=a\sqrt{\frac{2}{35}}.
Третий способ (вычисление расстояния). Пусть V
— объём тетраэдра. Тогда
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12},~V_{DMNC}=\frac{1}{4}V=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{48}.
С другой стороны,
V_{DMNC}=\frac{1}{6}CM\cdot DN\cdot d\sin\alpha,
где \alpha
— угол между прямыми CM
и DN
, а d
— расстояние между ними (см. задачу 7234).
Пусть T
— середина отрезка BM
. Тогда NT\parallel MC
, значит, угол между прямыми CM
и DN
равен углу DNT
. Из треугольника DNT
по теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\cos\angle DNT=\frac{1}{6}.
Тогда \sin\alpha=\frac{\sqrt{35}}{6}
. Следовательно,
d=\frac{6V_{DMNC}}{CM\cdot DN\sin\alpha}=\frac{\frac{a^{3}\sqrt{2}}{8}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{35}}{6}}=a\sqrt{\frac{2}{35}}.