567. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 6 и боковой стороной 5.
Ответ. \frac{25}{8}
.
Указание. Сторона треугольника равна диаметру описанной окружности, умноженному на синус противолежащего угла.
Решение. Первый способ. Пусть \alpha
— угол при основании. Тогда
\cos\alpha=\frac{3}{5},~\sin\alpha=\frac{4}{5}.
Следовательно, радиус описанного круга равен
\frac{5}{2\sin\alpha}=8\cdot\frac{5}{8}=\frac{25}{8}.
Второй способ. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
, AB=BC=5
, AC=6
. Если M
— середина AC
, то BM
— высота треугольника и
BM^{2}=5^{2}-3^{2}=4^{2}.
Пусть K
— середина BC
. Тогда KB=\frac{5}{2}
, OK
и OM
— серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.
Обозначим OB=OC=R
. Тогда имеем уравнение
R^{2}-9=(4-R)^{2}.
Отсюда находим, что R=\frac{25}{8}
.
Третий способ. Пусть O
— центр окружности радиуса R
, описанной около треугольника ABC
, AB=BC=5
, AC=6
. Если M
— середина AC
, то BM
— высота треугольника, и
BM=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4.
Продолжим BM
до пересечения с окружностью в точке B_{1}
. Тогда \angle BAB_{1}=90^{\circ}
(см. задачу 1689), а AM
— высота прямоугольного треугольника BAB_{1}
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
AM^{2}=BM\cdot MB_{1},~\mbox{или}~3^{2}=4(2R-4),
откуда находим, что R=\frac{25}{8}
.