877. Окружность радиуса 4 вписана в равнобедренную трапецию, меньшее основание которой равно 4. Найдите расстояние между точками, в которых окружность касается боковых сторон трапеции.
Ответ. \frac{32}{5}
.
Указание. Пусть O
— центр окружности; Q
, M
, и P
— её точки касания со сторонами соответственно AB
, BC
и CD
трапеции ABCD
(BC\parallel AD)
; K
— точка пересечения отрезков PQ
и OM
; L
— проекция вершины C
на AD
. Найдите CD
из прямоугольного треугольника CLD
(см. задачу 314) и рассмотрите подобные треугольники OKP
и DLC
.
Решение. Пусть O
— центр окружности; Q
, M
, и P
— её точки касания со сторонами соответственно AB
, BC
и CD
трапеции ABCD
(BC\parallel AD
); K
— точка пересечения отрезков PQ
и OM
; L
— проекция вершины C
на AD
.
Из прямоугольного треугольника COD
(см. задачу 313) находим, что
DP=\frac{OP^{2}}{CP}=\frac{OP^{2}}{MC}=\frac{16}{2}=8
(см. задачу 314). Поэтому CD=CP+PD=2+8=10
.
Из подобия прямоугольных треугольников OKP
и DLC
следует, что \frac{KP}{CL}=\frac{OP}{CD}
. Поэтому
KP=\frac{OP\cdot CL}{CD}=\frac{4\cdot8}{10}=\frac{16}{5}.
Следовательно, PQ=2KP=\frac{32}{5}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1982, вариант 3, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 64