10004. Все стороны треугольника ABC
различны. На лучах BA
и CA
отложены отрезки BK
и CM
, равные стороне BC
. Обозначим через x
длину отрезка KM
. Точно так же, откладывая на лучах AB
и CB
от точек A
и C
сторону AC
, получаем отрезок длины y
, а откладывая на лучах AC
и BC
сторону AB
, получим отрезок длины z
.
а) Докажите, что из отрезков x
, y
и z
можно составить треугольник, причём этот треугольник подобен треугольнику ABC
.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами x
, y
и z
, если радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
равны R
и r
.
Ответ. \sqrt{R^{2}-2Rr}
.
Решение. а) Пусть O
и I
— центры соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
, точки C_{1}
и B_{1}
— середины сторон соответственно AB
и AC
, C_{2}
и B_{2}
— точки касания вписанной окружности со сторонами AB
и AC
соответственно, а точки L
и P
— вершины прямоугольников OC_{1}C_{2}L
и OB_{1}B_{2}P
. Считаем, что a\lt c
и a\lt b
, а полупериметр треугольника ABC
равен p
. Тогда AK=c-a
и AM=b-a
, а так как BC_{2}=p-b
и CB_{2}=p-c
(см. задачу 219), то
OL=C_{1}C_{2}=BC_{1}-BC_{2}=\frac{c}{2}-(p-b)=\frac{b-a}{2}=\frac{1}{2}AM,
OP=B_{1}B_{2}=CB_{1}-CB_{2}=\frac{b}{2}-(p-c)=\frac{c-a}{2}=\frac{1}{2}AK.
Значит, треугольник OLP
подобен треугольнику AKM
по двум сторонам и углу между ними, причём коэффициент подобия равен \frac{1}{2}
.
Из точек L
и P
отрезок OI
виден под прямым углом, значит, четырёхугольник OLIP
вписан в окружность с диаметром OI=d
. Тогда радиус описанной окружности треугольника AKM
равен d
, а по теореме синусов x=KM=2d\sin\angle A
. Аналогично y=2d\sin\angle B
и z=2d\sin\angle C
. Стороны треугольника ABC
равны 2R\sin\angle A
, 2R\sin\angle B
, 2R\sin\angle C
, поэтому отрезки x
, y
, z
пропорциональны сторонам треугольника ABC
. Значит, из этих отрезков можно составить треугольник, причём этот треугольник подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \frac{d}{R}
.
б) Радиус \rho
окружности, описанной около треугольника со сторонами x
, y
, z
, равен R\cdot\frac{d}{R}=d
. Следовательно,
\rho=d=\sqrt{R^{2}-2Rr}
(см задачу 126).
Источник: Соросовская олимпиада. — 1995-1996, II, 3-й тур, 11 класс