10012. На стороне треугольника взяты четыре точки K
, P
, H
и M
, являющиеся соответственно серединой этой стороны, концом биссектрисы противоположного угла треугольника, точкой касания с этой стороной вписанной в треугольник окружности и основанием соответствующей высоты. Найдите KH
, если KP=a
, KM=b
.
Ответ. \sqrt{ab}
.
Решение. Пусть ABC
— треугольник со сторонами AB=x
, BC=y
, AC=z
(y\gt z
), точки K
, P
, H
и M
лежат на стороне AB
. Тогда (см. задачи 1509, 219)
BK=\frac{x}{2},~BP=y\cdot\frac{x}{y+z}=\frac{xy}{y+z},~BH=\frac{x+y-z}{2},
BM=y\cos\angle B=y\cdot\frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{2xy}=\frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{2x},
KP=BP-BK=\frac{xy}{y+z}-\frac{x}{2}=\frac{x(y-z)}{2(y+z)},
KH=BH-BK=\frac{x+y-z}{2}-\frac{x}{2}=\frac{y-z}{2},
KM=BM-BK=\frac{x^{2}+y^{2}-z^{2}}{2x}-\frac{x}{2}=\frac{y^{2}-z^{2}}{2x}.
Значит,
KP\cdot KM=\frac{x(y-z)}{2(y+z)}\cdot\frac{y^{2}-z^{2}}{2x}=\frac{(y-z)^{2}}{4}=\left(\frac{y-z}{2}\right)^{2}=KH^{2}.
Следовательно,
KH=\sqrt{KP\cdot KM}=\sqrt{ab}.