10019. Площадь выпуклого четырёхугольника равна
S
, а угол между диагоналями равен
\alpha
. На сторонах этого четырёхугольника как на основаниях построены равнобедренные треугольники с углом при вершине, равным
\varphi
. При этом два противоположных треугольника расположены по другую сторону от соответствующей стороны стороны четырёхугольника, чем сам четырёхугольник, а два других — по ту же сторону. Докажите, что вершины построенных треугольников, отличные от вершин четырёхугольника, служат вершинами параллелограмма. Найдите площадь этого параллелограмма.
Ответ.
\frac{S|\sin(\alpha\pm\varphi)|}{2\sin\alpha\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}
.
Решение. Пусть
ABCD
— данный четырёхугольник;
AKB
,
BLC
,
CMS
и
DNA
— равнобедренные треугольники, построенные на его сторонах в соответствии с условием;
K_{1}
,
L_{1}
,
M_{1}
и
N_{1}
— середины соответствующих сторон.
Четырёхугольник
K_{1}L_{1}M_{1}N_{1}
— параллелограмм, причём
S_{K_{1}L_{1}M_{1}N_{1}}=\frac{1}{2}S
(см. задачи 1204 и 3019), а углы этого параллелограмма равны
\alpha
и
180^{\circ}-\alpha
. Отрезок
KK_{1}
— медиана и высота равнобедренного треугольника
AKB
, поэтому
\angle KBK_{1}=90^{\circ}-\frac{\varphi}{2},~BK=\frac{BK_{1}}{\sin\frac{\varphi}{2}}.

Треугольник
KBL
получается из треугольника
K_{1}BL_{1}
при повороте вокруг точки
B
на угол
90^{\circ}-\frac{\varphi}{2}
и последующей гомотетии с центром
B
и коэффициентом
\frac{1}{\sin\frac{\varphi}{2}}
. Значит,
KL=\frac{K_{1}L_{1}}{\sin\frac{\varphi}{2}}
. Аналогично
LM=\frac{L_{1}M_{1}}{\sin\frac{\varphi}{2}},~MN=\frac{M_{1}N_{1}}{\sin\frac{\varphi}{2}},~NK=\frac{N_{1}K_{1}}{\sin\frac{\varphi}{2}}.

Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, значит, это параллелограмм. Если
\angle L_{1}K_{1}N_{1}=\alpha
, то
\angle LKN=\alpha+\varphi~\mbox{или}~180^{\circ}-(\alpha+\varphi),

а так как
K_{1}L_{1}\cdot K_{1}N_{1}=\frac{S}{2\sin\alpha}
, то
S_{KLMN}=KL\cdot KN|\sin(\alpha+\varphi)|=\frac{K_{1}L_{1}\cdot K_{1}N_{1}}{\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}\cdot|\sin(\alpha+\varphi)|=\frac{S|\sin(\alpha+\varphi)|}{2\sin\alpha\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}.

Если же
\angle L_{1}K_{1}N_{1}=180^{\circ}-\alpha
, то
S_{KLMN}=\frac{S|\sin(\alpha-\varphi)|}{2\sin\alpha\sin^{2}\frac{\varphi}{2}}

Источник: Соросовская олимпиада. — 1996-1997, III, 1-й тур, 11 класс