10024. Через точку O
— центр описанной около остроугольного треугольника окружности — проведена прямая, перпендикулярная одной из его сторон и пересекающая две другие стороны треугольника (или их продолжения) в точках M
и N
. Докажите, что OM+ON\geqslant2R
, где R
— радиус описанной около треугольника окружности.
Решение. Первый способ. Пусть прямая, проходящая через центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
и перпендикулярная стороне BC
, пересекает сторону AC
в точке M
, продолжение стороны AB
— в точке N
, а окружность — в точке K
, лежащей на дуге BAC
. Это означает, что AC\gt AB
.
Точка K
— середина дуги BAC
. Тогда
\angle CAK=\angle CBK=\angle BCK=180^{\circ}-\angle BAK=\angle NAK,
т. е. AK
— биссектриса треугольника AMN
.
Поскольку
\angle AMN=\angle CMO=90^{\circ}-\angle ACB\gt90^{\circ}-\angle KCB=90^{\circ}-\angle KBC=\angle ANM,
то AN\gt AM
(см. задачу 3499), а так как AK
— биссектриса треугольника AMN
, то KN\gt KM
(см. задачу 1509). Следовательно,
OM+ON=(OK-KM)+(OK+KN)=2R+(KN-KM)\gt2R.
Что и требовалось доказать.
Если AB=AC
, утверждение очевидно.
Второй способ. Пусть прямая, проходящая через центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
и перпендикулярная стороне BC
, пересекает сторону AC
в точке M
, продолжение стороны AB
— в точке N
, а окружность — в точке K
, лежащей на дуге BAC
. Это означает, что AC\gt AB
.
Обозначим \angle ABC=\beta
. Тогда
\angle OAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\beta)=90^{\circ}-\beta=\angle BNO=\angle ANO.
Значит, треугольники AOM
и NOA
подобны по двум углам. Следовательно,
\frac{OA}{ON}=\frac{OM}{OA}~\Rightarrow~R^{2}=OA^{2}=OM\cdot ON\lt\left(\frac{OM+ON}{2}\right)^{2}~\Rightarrow~OM+ON\gt2R.
Если AB=AC
, утверждение очевидно.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1997-1998, IV, 3-й тур, 9 класс