10034. На прямой l
расположены точки A
, B
, C
и D
, следующие в указанном порядке: AB=a
, BC=b
, CD=c
. Отрезки AD
и BC
служат хордами двух окружностей, при этом сумма угловых величин дуг этих окружностей, расположенных по одну сторону от прямой l
, равна 360^{\circ}
. Через точки A
и B
проходит третья окружность, пересекающая первые две в точках K
и M
. Прямая KM
пересекает прямую l
в точке E
. Найдите AE
.
Ответ. \frac{(a+b)(a+b+c)}{a+2b+c}
.
Решение. Пусть указанные дуги AD
и BC
расположены по одну сторону от прямой l
, точка K
лежит на дуге AD
, точка M
— на дуге BC
. Обозначим угловую величину дуги AD
через \alpha
, а \angle MBC=\beta
. Тогда угловая величина дуги BC
равна 360^{\circ}-\alpha
, поэтому
\angle BMC=\frac{1}{2}(360^{\circ}-(360^{\circ}-\alpha))=\frac{\alpha}{2},
а так как четырёхугольник ABMK
вписанный, то
\angle AKM=180^{\circ}-\angle ABM=\angle MBC=\beta.
Значит,
\angle MCE=\angle MCB=180^{\circ}-\angle BMC-\angle MBC=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\beta,
\angle MKD=\angle DKE=\angle AKD-\angle AKM=\frac{360^{\circ}-\alpha}{2}-\beta=
=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\beta=\angle MCE.
Следовательно, точки K
, M
, C
и D
лежат на одной окружности (см. задачу 49).
Тогда (см. задачу 2636) EB\cdot EA=EM\cdot EK=EC\cdot ED
. Обозначив EC=x
, получим, что
(b-x)(b-x+a)=x(x+c),
откуда x=\frac{ab+b^{2}}{a+2b+c}
. Следовательно,
AE=a-x+b=a+b-\frac{ab+b^{2}}{a+2b+c}=\frac{(a+b)(a+b+c)}{a+2b+c}.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1997-1998, IV, 1-й тур, 11 класс