10060. Стороны AB
и CD
четырёхугольника ABCD
при продолжении пересекаются в точке E
. На диагоналях AC
и BD
взяты соответственно точки M
и N
так, что \frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BD}=k
. Найдите площадь треугольника EMN
, если площадь четырёхугольника ABCD
равна S
.
Ответ. k(1-k)S
.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что BC\lt AD
. Тогда получим треугольник AED
. Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Рассмотрим случай, когда k\lt\frac{1}{2}
.
Отметим на стороне BC
такую точку F
, что \frac{BF}{BC}=k
. Поскольку \frac{AM}{AC}=\frac{BF}{BC}
, прямая MF
параллельна AE
(см. замечание к задаче 1059). Значит, S_{\triangle EMF}=S_{\triangle BMF}
. Аналогично, NF\parallel DE
и S_{\triangle ENF}=S_{\triangle CNF}
. Тогда
S_{\triangle EMN}=S_{\triangle EMF}+S_{\triangle ENF}+S_{\triangle FMN}=
=S_{\triangle BMF}+S_{\triangle CNF}+S_{\triangle FMN}=S_{BMNC}.
Поскольку BN=kBD
и MC=(1-k)AC
, то (см. задачу 3018)
S_{\triangle EMN}=S_{BMNC}=\frac{1}{2}BN\cdot MC\sin\angle BOM=
=k(1-k)\cdot\frac{1}{2}BD\cdot AC\sin\angle BOM=k(1-k)S_{ABCD}.
Случай k\geqslant\frac{1}{2}
рассматривается аналогично.