10063. Дан остроугольный треугольник ABC
. На его сторонах BC
, AC
и AB
взяты соответственно точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
так, что
\angle B_{1}A_{1}C_{1}+2\angle BAC=180^{\circ},~\angle A_{1}C_{1}B_{1}+2\angle ACB=180^{\circ},~\angle A_{1}B_{1}C_{1}+2\angle ABC=180^{\circ}.
Найдите геометрическое место центров окружностей, вписанных в треугольники A_{1}B_{1}C_{1}
(рассматриваются всевозможные такие треугольники).
Ответ. Точка пересечения высот треугольника ABC
.
Решение. Пусть A_{1}B_{1}C_{1}
— произвольный треугольник, удовлетворяющий условию задачи, O
— центр его вписанной окружности. Тогда B_{1}O
и C_{1}O
— биссектрисы углов A_{1}B_{1}C_{1}
и A_{1}C_{1}B_{1}
(см. задачу 1140), поэтому (см. задачу 4770)
\angle B_{1}OC_{1}=90^{\circ}+\angle B_{1}A_{1}C_{1}=90^{\circ}+\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\angle BAC)=180^{\circ}-\angle BAC.
Значит, около четырёхугольника AB_{1}OC_{1}
можно описать окружность (см. задачу 49). Вписанные в эту окружность углы OAB_{1}
и OC_{1}B_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle OAB_{1}=\angle OC_{1}B_{1}=\frac{1}{2}\angle A_{1}C_{1}B_{1}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\angle ACB)=90^{\circ}-\angle ACB.
Значит,
\angle OAB_{1}+\angle ACB=90^{\circ},
т. е. AO\perp BC
. Следовательно, высота треугольника ABC
, опущенная из вершины A
, проходит через точку O
. Аналогично для высот этого треугольника, опущенных из вершин B
и C
. Таким образом, для любого треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, удовлетворяющего условию задачи, O
— точка пересечения высот треугольника ABC
.