10071. Окружность \omega
, вписана в треугольник ABC
, в котором AB\lt AC
. Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны BC
в точке A'
. Точка X
выбирается на отрезке A'A
так, что отрезок A'X
не пересекает \omega
. Касательные, проведённые из X
к \omega
, пересекают отрезок BC
в точках Y
и Z
. Докажите, что сумма XY+XZ
не зависит от выбора точки X
.
Решение. Пусть касательные, проведённые из точки X
к окружности \omega
пересекают сторону BC
в точках Y
и Z
, причём Y
между B
и Z
.
Обозначим через \omega_{A}
вневписанную окружность треугольника ABC
, касающуюся стороны BC
, а через \omega'
— вневписанную окружность треугольника XYZ
, касающуюся стороны XZ
. Пусть A''
— точка касания окружности \omega
со стороной BC
, T
— точка касания окружности \omega
с прямой, параллельной BC
.
При гомотетии с центром A
, переводящей окружность \omega
в окружность \omega_{A}
, касательная к \omega
в точке T
переходит в параллельную ей касательную к окружности \omega_{A}
, т. е. в прямую BC
. Значит, точка T
переходит в A'
.
С другой стороны, окружности \omega
и \omega'
, вписанные в вертикальные углы, также гомотетичны (с отрицательным коэффициентом) с центром X
. При этой гомотетии касательная к окружности \omega
(параллельная BC
) в точке T
переходит в параллельную ей касательную в некоторой точке T'
к окружности \omega'
, причём точки T
и T'
лежат по разные стороны от точки X
, т. е. точка T'
совпадает с A'
.
Пусть p
— полупериметр треугольника XYZ
. Тогда ZA'=YA''=p-YZ
(см. задачу 4805). Следовательно,
XY+XZ=2p-YZ=(p-YZ)+(p-YZ)+YZ=
=ZA'+YA''+YZ=ZA'+YZ+YA''=A'A'',
что не зависит от выбора точки X
.
Примечание. Тот факт, что \omega'
касается BC
в точке A'
, можно также доказать, применив теорему о центрах трёх гомотетий (см. задачу 6434).