10078. Точки P
, Q
и W
делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD
в отношении AP:PB=CQ:QB=CW:WD=1:4
, а радиус окружности, описанной около треугольника PQW
, равен 10, PQ=16
, QW=12
, угол PWQ
острый.
а) Докажите, что треугольник PQW
прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 600.
Решение. а) Обозначим \angle PWQ=\alpha
, \angle QPV=\beta
. Пусть R=10
— радиус окружности, описанной около треугольника PWQ
.
Заметим, что угол QPW
также острый, так как QW\lt PQ
(см. задачу 3499). По теореме синусов
\sin\alpha=\frac{PQ}{2R}=\frac{16}{2\cdot10}=\frac{4}{5},~\sin\beta=\frac{QW}{2R}=\frac{12}{2\cdot10}=\frac{3}{5},
а так как \beta\lt90^{\circ}
, то \cos\beta=\frac{4}{5}
. Из равенства \sin\alpha=\cos\beta
следует, что \alpha+\beta=90^{\circ}
(оба угла острые). Значит,
\angle PQW=180^{\circ}-(\alpha+\beta)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
б) Поскольку AB:BP=BC:BQ=5:4
, треугольник ABC
подобен треугольнику PBQ
с коэффициентом \frac{5}{4}
. Значит, AC=\frac{5}{4}PQ=20
. Аналогично BD=5QW=60
. Кроме того, AC\parallel PQ
и BD\parallel QW
, поэтому диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
перпендикулярны. Следовательно, его площадь равна половине произведения диагоналей (см. задачу 3018), т. е.
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot20\cdot60=600.