10080. Докажите, что в прямоугольном треугольнике ортоцентр треугольника, образованного точками касания сторон с вписанной окружностью, лежит на высоте, проведённой из вершины прямого угла.
Решение. Пусть окружность с центром O
касается катетов AC
, BC
и гипотенузы AB
треугольника ABC
в точках K
, L
и M
соответственно, H
— ортоцентр треугольника KLM
.
Первый способ. Обозначим \angle A=2\alpha
и \angle=2\beta
. Прямая LH
и биссектриса угла A
параллельны как перпендикуляры к MK
(рис. 1). Значит, угол между прямыми LH
и AC
равен \alpha
, а \angle HLC=90^{\circ}-\alpha
. Аналогично \angle HKC=90^{\circ}-\beta
. Из четырёхугольника HLCK
находим
\angle KHL=360^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)-(90^{\circ}-\beta)-90^{\circ}=90^{\circ}+\alpha+\beta=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}.
Поскольку CK=CL
и \angle KHL+\frac{1}{2}\angle KCL=180^{\circ}
, точка H
лежит на окружности с центром C
и радиусом CK
. Поэтому треугольник KCH
равнобедренный, а так как \angle CKH=90^{\circ}-\beta
, то \angle KCH=2\beta
. Следовательно, прямые CH
и AB
пересекаются под углом 90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть MS
— диаметр вписанной окружности (рис. 2). Тогда SK
и LH
параллельны как перпендикуляры к MK
. Аналогично параллельны SL
и KH
, т. е. SKHL
— параллелограмм. Поскольку CKOL
— квадрат, при симметрии относительно середины отрезка KL
точка C
перейдёт в O
, а точка H
— в S
. Значит, отрезки CH
и OS
симметричны относительно середины отрезка KL
(общего центра квадрата и параллелограмма). Значит, CH\parallel MS
, а так как MS\perp AB
, то CH\perp AB
. Что и требовалось доказать.
Третий способ. Четырёхугольник OKCL
— квадрат, поэтому
\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OL}=\overrightarrow{OC}.
Значит (см. задачу 4516),
\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{OL}+\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OM}.
Тогда либо точки C
, O
, H
и M
лежат на одной прямой, либо OMHC
— параллелограмм, а так как OM\perp AB
, то CH\perp AB
. Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Параллельность CH
и MO
сразу следует из того, что в треугольнике KML
ортоцентр H
, вершина M
, центр O
описанной окружности и точка C
, симметричная ему относительно стороны KL
, образуют параллелограмм, возможно, вырожденный (см. задачу 1257).
2. См. статью А.Заславского «О вписанной окружности прямоугольного треугольника», Квант, 2017, N4, с.21-24.
3. См. также статью М.Панова «Задача с кружка, или Ещё раз о задаче М2447», Квант, 2017, N4, с.24.