10087. В треугольнике ABC
медианы AA_{0}
, BB_{0}
, CC_{0}
пересекаются в точке M
. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников MA_{0}B_{0}
, MCB_{0}
, MA_{0}C_{0}
, MBC_{0}
и точка M
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть \omega_{1}
, \omega_{2}
, \omega_{3}
, \omega_{4}
— указанные в условии окружности (в порядке их перечисления), а O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
, O_{4}
— их центры. Поскольку невыпуклый четырёхугольник MB_{0}A_{0}C_{0}
не может быть вписанным, точки O_{1}
и O_{3}
различны. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Пусть \omega
— окружность, описанная около треугольника O_{1}MO_{3}
. Докажем, что на этой окружности лежат точки O_{4}
и O_{2}
.
Отрезок MA_{0}
— общая хорда пересекающихся окружностей \omega_{1}
и \omega_{3}
, поэтому угол MO_{1}O_{3}
равен половине центрального угла MO_{1}A_{0}
окружности \omega_{1}
(см. задачу 1130), т. е. вписанному в неё углу MB_{0}A_{0}
. Если O_{4}
совпадает с O_{3}
, то всё доказано. Пусть точки O_{4}
и O_{3}
различны. Тогда O_{4}O_{3}
— общая хорда окружностей \omega_{3}
и \omega_{4}
, поэтому угол MO_{4}O_{3}
равен половине центрального угла MO_{4}C_{0}
окружности \omega_{4}
(см. задачу 1130), т. е. вписанному в неё углу MBC_{0}
. Углы MB_{0}A_{0}
и MBC_{0}
равны из параллельности B_{0}A_{0}
и BC_{0}
, поэтому \angle MO_{1}O_{3}=\angle MO_{4}O_{3}
, т. е. O_{4}
лежит на окружности \omega
. Так же докажем, что O_{2}
лежит на \omega
.
Аналогично для любого другого случая.
Примечание. Чтобы избежать разбора случаев, считаем все углы ориентированными (см. задачу 2036).
Источник: Турнир городов. — 2015-2016, XXXVII, осенний тур, сложный вариант, 8-9 классы