10115. В остроугольном треугольнике ABC
угол B
равен 60^{\circ}
, AM
и CN
— высоты, а Q
— середина стороны AC
. Докажите, что треугольник MNQ
равносторонний.
Решение. Первый способ. Из точек M
и N
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Середина Q
стороны AC
— центр этой окружности, QM=QN
— радиусы, а центральный угол MQN
вдвое больше вписанного угла MAN
. Значит,
\angle MQN=2\angle MAN=2\angle BAM=2\cdot30^{\circ}=60^{\circ}.
Следовательно, треугольник MNQ
равносторонний.
Второй способ. Отрезки QM
и QN
— медианы прямоугольных треугольников AMC
и ANC
, проведённые к общей гипотенузе AC
, поэтому QM=QN=\frac{1}{2}AC
(см. задачу 1109).
Треугольник MBN
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \cos\angle B=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}
(см. задачу 19), значит, MN=\frac{1}{2}AC
. Следовательно, треугольник MNQ
равносторонний.