10115. В остроугольном треугольнике ABC
угол B
равен 60^{\circ}
, AM
и CN
— высоты, а Q
— середина стороны AC
. Докажите, что треугольник MNQ
равносторонний.
Решение. Первый способ. Из точек M
и N
отрезок AC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC
. Середина Q
стороны AC
— центр этой окружности, QM=QN
— радиусы, а центральный угол MQN
вдвое больше вписанного угла MAN
. Значит,
\angle MQN=2\angle MAN=2\angle BAM=2\cdot30^{\circ}=60^{\circ}.
Следовательно, треугольник MNQ
равносторонний.
Второй способ. Отрезки QM
и QN
— медианы прямоугольных треугольников AMC
и ANC
, проведённые к общей гипотенузе AC
, поэтому QM=QN=\frac{1}{2}AC
(см. задачу 1109).
Треугольник MBN
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом \cos\angle B=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}
(см. задачу 19), значит, MN=\frac{1}{2}AC
. Следовательно, треугольник MNQ
равносторонний.
Источник: Произволов В. В. Задачи на вырост. — М.: МИРОС, 1995. — № 4, с. 33
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 2, с. 31, задача 5
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 8 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2019. — № 10.15, с. 79