10136. В остроугольном треугольнике ABC
известно, что H
— точка пересечения высот AA_{1}
, BB_{1}
и CC_1
, O
— центр описанной окружности, O'
— центр окружности, описанной около треугольника AHC
. Докажите, что O'H\perp A_{1}C_{1}
.
Решение. Воспользуемся следующими известными фактами:
1) OB\perp A_{1}C_{1}
(см. задачу 480);
2) точки O
и O'
— симметричны относительно прямой AC
;
3) расстояние от точки O
до прямой AC
в два раза меньше длины отрезка BH
(см. задачу 1257).
Тогда из утверждений 2) и 3) следует, что OO'=BH
и OO'\parallel BH
, т. е. OO'HB
— параллелограмм. Используя утверждение 1), получим, что O'H\perp A_{1}C_{1}
.