10142. Дана окружность, точка A
на ней и точка M
внутри неё. Рассматриваются хорды BC
, проходящие через M
. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников ABC
, касаются некоторой фиксированной окружности.
Решение. Пусть O
— центр данной окружности, O'
— центр окружности, проходящей через середины сторон ABC
, P
— точка пересечения медиан треугольника ABC
.
Поскольку вершины треугольника ABC
переходят в середины его сторон при гомотетии с центром P
и коэффициентом -\frac{1}{2}
(см. восьмой способ решения задачи 1256), точка P
лежит на отрезке OO'
и делит его в отношении OP:PO'=2:1
. Кроме того, так как геометрическое место середин хорд, проходящих через точку M
, — это окружность с диаметром OM
(см. задачу 2534), то геометрическое место точек P
— тоже окружность (см. задачу 6410), получающаяся из неё гомотетией с центром A
и коэффициентом \frac{2}{3}
. Значит, геометрическое место точек O'
— тоже окружность.
Поскольку радиусы всех окружностей, проходящих через середины сторон ABC
, равны половине радиуса данной окружности, все эти окружности касаются двух окружностей, концентричных с окружностью, на которой лежат точки O'
(если точка M
совпадает с O
, одна из этих окружностей вырождается в точку).