10154. Четырёхугольник ABCD
описан около окружности. Докажите, что радиус этой окружности меньше суммы радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC
и ACD
.
Решение. Пусть r
, r_{1}
, r_{2}
— радиусы вписанных окружностей четырёхугольника ABCD
и треугольников ABC
и ACD
соответственно; p
, p_{1}
, p_{2}
— их полупериметры. Тогда p\gt p_{1}
, p\gt p_{2}
, поэтому (см. задачи 452 и 523)
pr=S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=p_{1}r_{1}+p_{2}r_{2}\lt p(r_{1}+r_{2}).
Следовательно, r\lt r_{1}+r_{2}
.
Автор: Френкин Б. Р.
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2007, 9 класс