10161. Дан треугольник ABC
. Вневписанная окружность касается его стороны BC
в точке A_{1}
. Другая вневписанная окружность касается стороны AC
в точке B_{1}
. Отрезки AA_{1}
и BB_{1}
пересекаются в точке N
. На луче AA_{1}
отметили такую точку P
, что AP=NA_{1}
. Докажите, что точка P
лежит на вписанной в треугольник окружности.
Решение. Обозначим AB=c
, AC=b
, BC=a
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Пусть вписанная окружность этого треугольника касается сторон BC
и AC
в точках A_{2}
и B_{2}
соответственно. Тогда (см. задачи 4805 и 219)
CA_{1}=BA_{2}=p-b,~CB_{1}=AB_{2}=p-a,
AB_{1}=BB_{2}=p-c,~BA_{1}=CA_{2}=p-c.
Применив теорему Менелая к треугольнику ACA_{1}
и прямой BB_{1}
, получаем, что
1=\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{CB}{BA_{1}}\cdot\frac{A_{1}N}{NA}=
=\frac{p-c}{p-a}\cdot\frac{a}{p-c}\cdot\frac{A_{1}N}{NA}=\frac{a}{p-a}\cdot\frac{A_{1}N}{NA},
откуда \frac{A_{1}N}{NA}=\frac{p-a}{a}
. Значит,
\frac{AP}{AA_{1}}=\frac{A_{1}N}{AA_{1}}=\frac{p-a}{(p-a)+a}=\frac{p-a}{p}.
Гомотетия с коэффициентом \frac{p-a}{p}
и центром A
переведёт точку A_{1}
в точку P
. Но отношение радиусов вписанной и вневписанной окружностей треугольника тоже равно \frac{p-a}{p}
. Следовательно, точка P
лежит на вписанной окружности.