10170. В трапецию ABCD
(BC\parallel AD
) вписана окружность, касающаяся боковых сторон AB
и CD
в точках K
и L
соответственно, а оснований AD
и BC
в точках M
и N
.
а) Пусть Q
— точка пересечения отрезков BM
и AN
. Докажите, что KQ\parallel AD
.
б) Докажите, что AK\cdot KB=CL\cdot LD
.
Решение. а) Из подобия треугольников BQN
и MQA
получаем, что \frac{BQ}{QM}=\frac{BN}{AM}
, а так как BK=BN
и AK=AM
, то \frac{BQ}{QM}=\frac{BK}{AK}
. Следовательно, KQ\parallel AD
.
б) Пусть O
— центр окружности радиуса r
, вписанной в трапецию. Тогда \angle AOB=\angle COD=90^{\circ}
(см. задачу 313). Отрезки OK
и OL
— высоты прямоугольных треугольников AOB
и COD
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому AK\cdot KB=OK^{2}=r^{2}
и CL\cdot LD=OL^{2}=r^{2}
(см. задачу 2728). Следовательно, AK\cdot KB=CL\cdot LD
.