10172. Биссектриса угла A
треугольника ABC
пересекает описанную окружность в точке D
. Докажите, что AB+AC\leqslant2AD
.
Указание. Примените теорему Птолемея (см. задачу 130) или формулу Архимеда (см. задачу 176).
Решение. Первый способ. Равные вписанные углы BAD
и CAD
опираются на равные хорды BD=CD
. По теореме Птолемея
AB\cdot CD+AC\cdot BD=AD\cdot BC,~\mbox{или}~AB\cdot BD+AC\cdot BD=AD\cdot BC.
Учитывая, что BC\lt BD+CD=2BD
(неравенство треугольника), получим
AB+AC=\frac{AD\cdot BC}{BD}\lt\frac{AD\cdot2BD}{BD}=2AD.
Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Пусть P
— проекция точки D
на прямую AC
. Тогда AP=\frac{AB+AC}{2}
(формула Архимеда, задача 176). В прямоугольном треугольнике APD
катет AP
меньше гипотенузы AD
, т. е.
\frac{AB+AC}{2}=AP\lt AD.
Следовательно, AB+AC\leqslant2AD
.