10181. Диагонали четырёхугольника равны по a
, а сумма его средних линий равна b
(средние линии соединяют середины противоположных сторон). Вычислите площадь четырёхугольника.
Ответ. \frac{b^{2}-a^{2}}{2}
.
Решение. Из задачи 1204 следует, что четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного четырёхугольника — ромб со стороной \frac{a}{2}
. Площадь данного четырёхугольника вдвое больше площади этого ромба (см. задачу 3019).
Пусть средние линии четырёхугольника равны x
и y
. По теореме Пифагора
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=\frac{a^{2}}{4},~\mbox{или}~x^{2}+y^{2}=a^{2},
а по условию задачи x+y=b
. Из последнего равенства следует, что
xy=\frac{1}{2}(b^{2}-(x^{2}+y^{2}))=\frac{1}{2}(b^{2}-a^{2}).
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, т. е. \frac{1}{2}xy
. Следовательно, площадь данного четырёхугольника равна
2\cdot\frac{1}{2}xy=xy=\frac{1}{2}(b^{2}-a^{2}).
Источник: Белорусская республиканская математическая олимпиада. — 1965, XV, 8-9 классы