10187. Точка O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
. Описанная окружность треугольника AOC
вторично пересекает стороны AB
и BC
в точках E
и F
. Оказалось, что прямая EF
делит площадь треугольника ABC
пополам. Найдите угол B
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть точка E
лежит на стороне AB
, а точка F
— на стороне BC
. Обозначим \angle ABC=\beta
. Треугольник ABC
остроугольный, поэтому \angle AOC=2\beta
. Тогда
\angle AEC=\angle AOC=2\beta,~\angle BCE=\angle AEC-\angle CBE=2\beta-\beta=\beta.
Из равнобедренного треугольника BCE
получаем, что
BC=2BE\cos\angle CBE=2BE\cos\beta.
Аналогично AB=2BF\cos\beta
. Отсюда
AB\cdot BC=4BF\cdot BE\cos^{2}\beta.
Из условия задачи следует, что
\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle EBF}}=\frac{AB}{BE}\cdot\frac{BC}{BF}=2
(см. задачу 3007), откуда AB\cdot BC=2BF\cdot BE
. Значит,
4BF\cdot BE\cos^{2}\beta=AB\cdot BC=2BF\cdot BE,~\mbox{или}~\cos^{2}\beta=\frac{1}{2},
а так как \beta\lt90^{\circ}
, то \cos\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}
. Следовательно, \beta=45^{\circ}
.
Второй способ. Пусть точка E
лежит на стороне AB
, а точка F
— на стороне BC
. Обозначим \angle ABC=\beta
. Треугольник ABC
остроугольный, поэтому угол при вершине O
равнобедренного треугольника AOC
равен 2\beta
.
Пусть луч EO
пересекает BC
в точке N
, а луч FO
пересекает AB
в точке N
. Четырёхугольник AEOC
вписан в окружность, поэтому
\angle BEN=180^{\circ}-\angle AEO=\angle ACO=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOC=90^{\circ}-\beta.
Значит,
\angle BNE=180^{\circ}-\beta-(90^{\circ}-\beta)=90^{\circ},
т. е. EN
— высота треугольника BEF
. Аналогично, FM
— также высота этого треугольника. Тогда треугольник BMN
подобен треугольнику BFE
, причём коэффициент подобия равен \cos\beta
. Значит, S_{\triangle BFE}=\frac{S_{\triangle BMN}}{\cos^{2}\beta}
(см. задачу 19)
Кроме того, N
и M
— проекции центра O
описанной окружности треугольника ABC
на стороны BC
и AC
, значит, M
и N
— середины этих сторон, а MN
— средняя линия треугольника ABC
. Тогда S_{\triangle BMN}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}
.
По условию задачи, S_{\triangle BFE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}
, значит,
\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BFE}=\frac{S_{\triangle BMN}}{\cos^{2}\beta}=\frac{S_{\triangle ABC}}{4\cos^{2}\beta},
откуда \cos^{2}\beta=\frac{1}{2}
, а так как треугольник остроугольный, то \cos\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}
. Следовательно, \beta=45^{\circ}
.