10197. Диагонали разбивают выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны. Докажите, что данный четырёхугольник — ромб.
Решение. Сначала докажем, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого достаточно установить, что диагонали AC
и BD
данного четырёхугольника ABCD
точкой O
пересечения делятся пополам. Допустим, что это не так. Пусть BO\lt OD
и AO\leqslant OC
. Рассмотрим треугольник OA_{1}B_{1}
, симметричный треугольнику OAB
относительно точки O
. Радиус вписанной окружности треугольника OA_{1}B_{1}
меньше радиуса вписанной окружности треугольника OCD
(см. задачу 2350), а из условия следует, что они равны. Таким образом, ABCD
— параллелограмм.
Докажем теперь, что все его стороны равны. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольников OAB
и BOC
, площади которых равны S
, а полупериметры — p
и p_{1}
. Тогда (см. задачу 452)
p_{1}=\frac{S}{r}=p.
Значит, BC=AB
. Следовательно, ABCD
— ромб.