10198. О четырёхугольнике ABCD
известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC
, BCD
, CDA
и DAB
, равны. Докажите, что ABCD
— прямоугольник.
Решение. Из условия следует, что ABCD
— выпуклый четырёхугольник. Пусть при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{BD}
точка A
переходит в A_{1}
, а точка C
— в C_{1}
. Тогда ACC_{1}A_{1}
— параллелограмм. Его стороны AA_{1}
и CC_{1}
параллельны и равны диагонали BD
. Треугольники ADA_{1}
, CDC_{1}
и C_{1}DA_{1}
равны соответственно треугольникам ABD
, BCD
и ABC
. Значит, отрезки, соединяющие точку D
с вершинами A
, C
, C_{1}
и A_{1}
параллелограмма ACC_{1}A_{1}
, разбивают параллелограмм на четыре треугольника с равными радиусами их вписанных окружностей. Следовательно, этот параллелограмм — ромб (см. задачу 10197).
Пусть O
— центр ромба ABCD
, а точка D
лежит внутри (но не на стороне) треугольника, например, COC_{1}
. Тогда радиус r_{1}
вписанной окружности треугольника ADA_{1}
, больше радиуса r
вписанной окружности треугольника AOA_{1}
, равного радиусу вписанной окружности треугольника COC_{1}
, который больше радиуса вписанной окружности треугольника CDC_{1}
(см. задачу 2350), и равен r_{1}
. Таким образом, r_{1}\gt r\gt r_{1}
. Противоречие. Аналогично для остальных случаев расположения точки D
. Следовательно, точка D
совпадает с O
.
Тогда четырёхугольник ABCD
— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. В то же время, по ранее доказанному BD=AA_{1}=AC
, т. е. диагонали параллелограмма ABCD
равны. Следовательно, это прямоугольник.