10217. Одна окружность проходит через вершины A
и C
прямоугольника ABCD
, а другая — через вершины B
и D
. Докажите, что их общая хорда проходит через центр прямоугольника.
Решение. Пусть окружность S_{1}
проходит через через точки A
и C
, окружность S_{2}
проходит через точки B
и D
, а S
— описанная окружность прямоугольника ABCD
.
Пусть EF
— общая хорда окружностей S_{1}
и S_{2}
. Тогда EF
— радикальная ось этих окружностей (см. задачу 6391). Прямая AC
— радикальная ось окружностей S
и S_{1}
, а прямая BD
— радикальная ось окружностей S
и S_{2}
. Эти прямые пересекаются в центре O
прямоугольника ABCD
. Тогда O
— радикальный центр окружностей S
, S_{1}
и S_{2}
(см. задачу 6393). Следовательно, радикальная ось окружностей S_{1}
и S_{2}
, т. е. прямая EF
, проходит через точку O
.
Источник: Московская математическая регата. — 2004-2005, 11 класс
Источник: Московские математические регаты / Сост. А. Д. Блинков, Е. С. Горская, В. М. Гуровиц. — М.: МЦНМО, 2007. — с. 74, задача 5.2