10253. Центр O
окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
, лежит внутри него. Найдите площадь четырёхугольника, если \angle BAO=\angle DAC
, AC=m
, BD=n
.
Ответ. \frac{mn}{2}
.
Решение. Пусть диагонали четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. Докажем, что AC
и BD
перпендикулярны.
Первый способ. Используем известный факт: если AP
— высота треугольника ABC
, O
— центр описанной около этого треугольника окружности, то \angle OAB=\angle PAC
(см. задачу 20).
Применив этот факт к треугольнику ABD
(рис. 1), получим, что из условия \angle BAO=\angle DAC
и единственности перпендикуляра, опущенного из точки A
на прямую BD
, следует, что AP\perp BD
. Следовательно (см. задачу 3018),
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{mn}{2}.
Второй способ. Проведём диаметр AA'
. Тогда из равенства \angle BAO=\angle DAC
следует, что \angle BAP=\angle DAA'
(рис. 2). Кроме того, \angle ABP=\angle AA'D
(как вписанные, опирающиеся на одну ту же дугу). Поскольку вписанный угол ADA'
опирается на диаметр, \angle ADA'=90^{\circ}
. Значит,
\angle BAP+\angle ABP=\angle DAA'+\angle AA'D=90^{\circ}.
Таким образом, угол APB
между диагоналями четырёхугольника — прямой. Следовательно (см. задачу 3018),
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{mn}{2}.
Примечание. Этот результат также можно получить, если использовать, что угол между пересекающимися хордами AC
и BD
окружности равен полусумме угловых величин дуг AD
и BC
.