10258. Основания описанной трапеции равны 2 и 11. Докажите, что продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под острым углом.
Решение. Пусть ABCD
— данная трапеция с основаниями BC=2
и AD=11
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть M
— точка её пересечения с AD
. Тогда угол между продолжениями боковых сторон трапеции равен углу DCM
.
Обозначим CM=AB=x
. Поскольку трапеция описанная,
DC=AD+BC-AB=13-x
(см. задачу 310). В треугольнике DCM
известно, что
MD=AD-AM=AD-BC=11-2=9,~CM=x,~CD=13-x.
Тогда
CM^{2}+CD^{2}-DM^{2}=x^{2}+(13-x)^{2}-81=
=2x^{2}-26x+88=2(x^{2}-13x+44)\gt0
для всех x
(дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен). Следовательно (см. задачу 4004), угол CMD
острый.