10269. Вписанная окружность прямоугольного треугольника
ABC
с прямым углом при вершине
C
касается сторон
AB
,
BC
и
CA
в точках
C_{1}
,
A_{1}
и
B_{1}
соответственно. Высоты треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
пересекаются в точке
D
. Найдите расстояние между точками
C
и
D
, если катеты треугольника
ABC
равны 3 и 4.
Ответ. 1.
Решение. Вписанная окружность треугольника
ABC
является описанной для треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
. Пусть
I
— центр этой окружности,
r
— её радиус,
p
— полупериметр треугольника
ABC
. Тогда
A_{1}IB_{1}C
— квадрат.
Первый способ. Докажем, что четырёхугольник
CDC_{1}I
— параллелограмм. Действительно,
IC\perp A_{1}B_{1}
и
C_{1}D\perp A_{1}B_{1}
, так как прямая
C_{1}D
содержит высоту треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
. Значит,
IC_{1}\parallel C_{1}D
. Кроме того,
IC=C_{1}D
, так как в любом треугольнике расстояние от центра описанной окружности до середины стороны в два раза меньше расстояния от противолежащей вершины до ортоцентра треугольника (см. задачу 1257). Из доказанного следует, что
CD=IC_{1}=r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{AC\cdot BC}{AC+BC+AB}=\frac{3\cdot4}{3+4+5}=1

(см. задачу 452).
Второй способ. Используя теорему об угле между касательной и хордой и учитывая, что
A_{1}IB_{1}C
— квадрат, получим, что
\angle B_{1}C_{1}A_{1}=\angle CB_{1}A_{1}=45^{\circ}.

Пусть
B_{1}F
и
A_{1}E
— высоты треугольника
A_{1}B_{1}C_{1}
. Из четырёхугольника
DEC_{1}F
находим, что
\angle EDF=135^{\circ}
.
Рассмотрим окружность с центром
C
и радиусом
CB_{1}=CA_{1}
. Докажем, что точка
D
лежит на этой окружности. Действительно, рассмотрим на ней произвольную точку
K
на большей дуге
B_{1}A_{1}
. Тогда
\angle B_{1}KA_{1}=\frac{1}{2}\angle B_{1}CA_{1}=45^{\circ}.

Значит,
\angle B_{1}KA_{1}+\angle B_{1}DA_{1}=45^{\circ}+135^{\circ}=180^{\circ}.

Следовательно, четырёхугольник
B_{1}KA_{1}D
вписанный. Что и требовалось доказать.
Таким образом,
CD=CB_{1}=r=\frac{S_{\triangle ABC}}{p}=\frac{AC\cdot BC}{AC+BC+AB}=\frac{3\cdot4}{3+4+5}=1

(см. задачу 452).
Источник: Московская математическая регата. — 2015-2016, четвёртый тур, № 2, 9 класс