10281. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
биссектрисы углов CAD
и CBD
пересекаются на стороне CD
. Докажите, что биссектрисы углов ACB
и ADB
пересекаются на стороне AB
.
Решение. Пусть K
— точка на стороне CD
, в которой пересекаются биссектрисы углов CAD
и CBD
. Тогда по свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{CK}{DK}=\frac{AC}{AD}~\mbox{и}~\frac{CK}{DK}=\frac{BC}{BD}.
Значит, \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}
. Следовательно, \frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}
.
Пусть биссектриса угла ACB
пересекает сторону AB
в точке N
. Тогда
\frac{BN}{AN}=\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}.
Следовательно, DN
— биссектриса угла ADB
(см. задачу 1510).
Источник: Московская математическая регата. — 2012-2013, 9 класс
Источник: Московская областная математическая олимпиада. — 1994-95, 10 класс.