10288. В равнобокой трапеции ABCD
основания AD
и BC
равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы BAC
и CAD
.
Ответ. \angle BAC\gt\angle CAD
.
Решение. Первый способ. Прямые AD
и BC
параллельны, поэтому \angle CAD=\angle BCA
(рис. 1). Пусть BH=4
— высота трапеции. Тогда (см. задачу 1921)
AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{12-6}{2}=3.
Значит,
AB=\sqrt{BH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5.
Таким образом, в треугольнике сторона BC
треугольника ABC
больше его стороны AB
. Значит, \angle BAC\gt\angle BCA
(см. задачу 3499). Следовательно, \angle BAC\gt\angle CAD
.
Второй способ. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке E
(рис. 2). Поскольку BC\parallel AD
и AD=2BC
, отрезок BC
— средняя линия треугольника AED
. Вычислив боковую сторону трапеции (см. первый способ решения), получим, что AE=2AB=10
.
Проведём биссектрису AL
треугольника AED
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{LD}{LE}=\frac{AD}{AE}=\frac{12}{10}\gt1.
Значит, точка L
лежит между точками C
и E
. Следовательно, \angle BAC\gt\angle CAD
.