10295. Точку, расположенную внутри треугольника, соединили отрезками с серединами его сторон. Образовались три выпуклых четырёхугольника, в два из которых можно вписать окружность. Докажите, что в третий четырёхугольник также можно вписать окружность.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
и AB
данного треугольника ABC
, M
— точка внутри него. Обозначим AB=c
, AC=b
, BC=a
, MA_{1}=x
, MB_{1}=y
, MC_{1}=z
.
Предположим, что в четырёхугольники MA_{1}BC_{1}
и MC_{1}AB_{1}
можно вписать окружности. Тогда (см. задачу 310)
BA_{1}+MC_{1}=BC_{1}+MA_{1}~\mbox{и}~AB_{1}+MC_{1}=AC_{1}+MB_{1},
или
\frac{a}{2}+z=\frac{c}{2}+x~\mbox{и}~\frac{b}{2}+z=\frac{c}{2}+y.
Вычитая второе равенство из первого, получим, что
\frac{a}{2}-\frac{b}{2}=x-y,~\mbox{или}~\frac{a}{2}+y=\frac{b}{2}+x,
т. е. CA_{1}+MB_{1}=CB_{1}+MA_{1}
. Суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника MB_{1}CA_{1}
равны, следовательно, в него можно вписать окружность (см. задачу 364).