10317. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. Пусть CD
— их общая касательная (C
и D
— точки касания), а O_{a}
и O_{b}
— центры описанных окружностей треугольников CAD
и CBD
соответственно. Докажите, что середина отрезка O_{a}O_{b}
лежит на прямой AB
.
Решение. Первый способ. Пусть прямая AB
пересекает общую касательную в точке M
(рис. 1). Тогда M
— середина отрезка CD
(см. задачу 444). Кроме того, сумма углов CAD
и CBD
равна 180^{\circ}
(см. задачу 90), значит, по теореме синусов, радиусы описанных окружностей треугольников CAD
и CBD
равны, т. е. O_{a}C=O_{a}D=O_{b}C=O_{b}D
. При этом, точки O_{a}
и O_{b}
различны, следовательно, CO_{a}DO_{b}
— ромб, а середина M
его диагонали CD
, лежащая на прямой AB
, является серединой диагонали O_{a}O_{b}
.
Второй способ. Пусть C'
и D'
— точки касания окружностей с второй общей касательной (рис. 2). Углы ACD
и ADC
равны половинам дуг AC
и AD
соответствующих окружностей, а углы BCD
и BDC
— половинам дуг BC
и BD
, которые равны дугам C'A
и D'A
. Следовательно, сумма всех четырёх углов равна полусумме дуг C'AC
и D'AD
.
Поскольку последняя дуга гомотетична дуге C'C
, эта полусумма равна \pi
. Значит, центры описанных окружностей треугольников CAD
и CBD
симметричны относительно прямой CD
, т. е. середина отрезка O_{a}O_{b}
совпадает с серединой отрезка CD
, которая лежит на радикальной оси окружностей, т. е. на прямой AB
.