10329. Описанная окружность треугольника ABC
пересекает стороны AD
и CD
параллелограмма ABCD
в точках K
и L
. Пусть M
— середина дуги KL
, не содержащей точку B
. Докажите, что DM\perp AC
.
Решение. Первый способ. Четырёхугольник ABCD
— трапеция, так как CL\parallel AB
и CL\lt CD=AB
. Эта трапеция вписана в окружность, значит, это равнобедренная трапеция, поэтому AL=BC=AD
.
Поскольку M
— середина дуги KL
, луч AM
— биссектриса угла DAL
(см. задачу 430), а так как треугольник ALD
равнобедренный, то AM\perp CD
. Аналогично CM\perp AD
. Следовательно, M
— ортоцентр треугольника ACD
, и DM\perp AC
.
Второй способ. Рассмотрим дуги окружности, описанной около треугольника ABC
. Из равенства вписанных углов BAK
и BCL
следует равенство дуг BAK
и BCL
. Также равны дуги LM
и KM
, а в совокупности эти четыре дуги дают всю окружность, значит, BM
— диаметр. Тогда треугольники BAM
и BCM
прямоугольные, поэтому
BA^{2}+AM^{2}=BM^{2}=BC^{2}+CM^{2}.
Запишем это равенство в виде
BA^{2}-BC^{2}=CM^{2}-AM^{2}.
Затем изменим левую часть, используя равенство противоположных сторон параллелограмма:
CD^{2}-AD^{2}=CM^{2}-AM^{2}.
Следовательно, DM\perp AC
(см. задачу 2445).
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2016, XII, финальный тур, № 2, 8 класс