10335. Продолжения боковых сторон трапеции ABCD
пересекаются в точке P
, а её диагонали — в точке Q
. Точка M
на меньшем основании BC
такова, что AM=MD
. Докажите, что \angle PMB=\angle QMB
.
Решение. Пусть X
и Y
— точки пересечения прямых PM
и QM
с прямой AD
, а U
— середина основания AD
. Известно, что точки P
, Q
и U
лежат на одной прямой (см. задачу 1513).
Обозначим AX=a
, YD=b
, XY=m
. Поскольку
AX:XD=BM:MC~\mbox{и}~BM:MC=YD:AY,
получаем, что \frac{AX}{XD}=\frac{YD}{AY}
, или \frac{a}{b+m}=\frac{b}{a+m}
, откуда a=b
, или AX=YD
. Тогда XU=UY
.
Значит, серединный перпендикуляр UM
к отрезку AD
является биссектрисой равнобедренного треугольника XMY
, а перпендикулярная ему прямая BC
(параллельная основанию XY
) — биссектрисой угла PMQ
(см. задачу 1102). Отсюда следует, что \angle PMB=\angle QMB
.
Примечание. Прямая PQ
проходит через точку U
и середину V
отрезка BC
, причём точки P
, Q
, U
, V
образуют гармоническую четвёрку. Поскольку прямые MU
и MV
перпендикулярны, они являются внешней и внутренней биссектрисами угла PMQ
.