10336. Прямая, параллельная стороне BC
треугольника ABC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках P
и Q
соответственно. Внутри треугольника APQ
взята точка M
. Отрезки MB
и MC
пересекают отрезок PQ
в точках E
и F
соответственно. Пусть N
— вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников PMF
и QME
. Докажите, что точки A
, M
и N
лежат на одной прямой.
Решение. Первый способ. Обозначим через P'
и Q'
вторые точки пересечения описанной окружности треугольника PMF
с прямой AB
и описанной окружности треугольника QME
с прямой AC
. Четырёхугольник PP'MQ
вписанный, поэтому
\angle MP'A=\angle MFP=\angle MCB,
т. е. точка P'
лежит на описанной окружности треугольника BMC
. Аналогично, точка Q'
лежит на той же окружности. Значит, AP'\cdot AB=AQ'\cdot AC
(см. задачу 2636), или \frac{AP'}{AQ'}=\frac{AC}{AB}
, а так как PQ\parallel AB
, то \frac{AC}{AB}=\frac{AQ}{AP}
. Следовательно, \frac{AP'}{AQ'}=\frac{AQ}{AP}
, или AP'\cdot AP=AQ'\cdot AQ
, т. е. степени точки A
относительно двух данных окружностей равны. Это и означает, что A
лежит на прямой MN
— радикальной оси описанных окружностей треугольников PMF
и QME
(см. задачу 6392).
Второй способ. Пусть прямая AM
пересекает PQ
в точке K
, а BC
— в точке L
. Тогда
EK:FK=BL:CL=PK:QK.
Следовательно, PK\cdot FK=QK\cdot EK
.
Пусть N'
и N''
— точки пересечения описанных окружностей треугольников соответственно PMF
и QME
с прямой AM
. Тогда
MK\cdot KN'=PK\cdot FK=QK\cdot EK=MK\cdot KN'',
значит, точки N'
и N''
совпадают. Следовательно, обе окружности пересекают прямую AM
в одной и той же точке N
, т. е. точки A
, M
и N
лежат на одной прямой.
Автор: Ясинский В. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2016, XII, финальный тур, № 1, 10 класс